Question

10．已知函數(shù)f（x）=（2ax-lnx）x有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{4}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，1）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 求導(dǎo)f′（x）=4ax-lnx-1，設(shè)g（x）=lnx+1-4ax，函數(shù)f（x）=（2ax-lnx）x有兩個(gè)極值點(diǎn)，則g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．分類當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＜0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞減，g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上沒(méi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)a＞0時(shí)，g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{4a}$，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{4a}$，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x=$\frac{1}{4a}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值，使函數(shù)f（x）=（2ax-lnx）x有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需g（$\frac{1}{4a}$）=4a×$\frac{1}{4a}$-ln$\frac{1}{4a}$-1＜0，即ln$\frac{1}{4a}$＞0，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f（x）=（2ax-lnx）x=2ax²-xlnx（x＞0），f′（x）=4ax-lnx-1．
設(shè)g（x）=4ax-lnx-1，
∵函數(shù)f（x）=（2ax-lnx）x有兩個(gè)極值點(diǎn)，
則g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
g′（x）=4a-$\frac{1}{x}$=$\frac{4ax-1}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＜0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞減，
因此g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上沒(méi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，舍去．
當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{4a}$．
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{4a}$，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{4a}$，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=$\frac{1}{4a}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值．
要使g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
只需g（$\frac{1}{4a}$）=4a×$\frac{1}{4a}$-ln$\frac{1}{4a}$-1＜0，即ln$\frac{1}{4a}$＞0，解得：0＜a＜$\frac{1}{4}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$）．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．