12.已知函數(shù)f(x)=1-$\frac{a}{{3}^{x}+1}$是奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)證明f(x)是R上的增函數(shù).

分析 (1)若函數(shù)f(x)=1-$\frac{a}{{3}^{x}+1}$是奇函數(shù),則f(-x)=-f(x)恒成立,進(jìn)而可得滿足條件的a的值;
(2)由(1)可得f(x)=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$,故f′(x)=$\frac{2•ln3•{3}^{x}}{{(3}^{x}+1)^{2}}$,由f′(x)>0恒成立,可得:f(x)是R上的增函數(shù).

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=1-$\frac{a}{{3}^{x}+1}$是奇函數(shù),
∴f(-x)=-f(x)恒成立,
即1-$\frac{a}{{3}^{-x}+1}$=-1+$\frac{a}{{3}^{x}+1}$,
即$\frac{a}{{3}^{x}+1}$+$\frac{a•{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$=$\frac{a(1+{3}^{x})}{{3}^{x}+1}$=a=2,
證明:(2)由(1)得:函數(shù)f(x)=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$,
故f′(x)=$\frac{2•ln3•{3}^{x}}{{(3}^{x}+1)^{2}}$,
∵f′(x)>0恒成立,
∴f(x)是R上的增函數(shù).

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的奇偶性,函數(shù)解析式的求法,難度中檔.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

2.已知投資x萬(wàn)元經(jīng)銷甲商品所獲得的利潤(rùn)為P=$\frac{x}{4}$;投資x萬(wàn)元經(jīng)銷乙商品所獲得的利潤(rùn)為Q=$\frac{a}{2}$$\sqrt{x}$(a>0).若投資20萬(wàn)元同時(shí)經(jīng)銷這兩種商品或只經(jīng)銷其中一種商品,使所獲得的利潤(rùn)不少于5萬(wàn)元,則a的最小值為( 。
A.$\sqrt{5}$B.5C.$\sqrt{2}$D.2

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3.已知集合A={x|-6≤x≤8},B={x|x≤m},若A∪B≠B且A∩B≠∅,則m的取值范圍是[-6,8).

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20.根據(jù)下列條件,求直線的方程:
(Ⅰ)過(guò)直線l1:2x-3y-1=0和l2:x+y+2=0的交點(diǎn),且垂直于直線2x-y+7=0;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)(-3,1),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為-4.

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7.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$是奇函數(shù),
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)設(shè)關(guān)于x的方程f(4x-b)+f(-2x+1)=0有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

17.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=$\frac{{2}^{x}+b}{{2}^{x}+1}$是奇函數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性;
(2)解不等式f(2x+1)+f(x)<0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

4.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).
(1)求{an}的通項(xiàng)公式; 
(2)等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正,前n項(xiàng)和為Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列,求數(shù)列{$\frac{1}{T_n}$}的前n項(xiàng)和$\frac{1}{T_1}$+$\frac{1}{T_2}$+$\frac{1}{T_3}$+…+$\frac{1}{T_n}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

1.設(shè)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2,x<0}\\{x+1,x≥0}\end{array}\right.$,則f[f(-1)]=(  )
A.0B.3C.4D.-1

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2.下列命題中,是真命題的是( 。
A.?x0∈R,使得e${\;}^{{x}_{0}}$≤0B.$sinx+\frac{2}{sinx}≥2\sqrt{2}(x≠kπ,k∈Z)$
C.?x∈R,2x>x2D.a>1,b>1是ab>1的充分不必要條件

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