Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，己知點O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
（1）求過O、B、A三點的拋物線的解析式．
（2）在第一象限的拋物線上存在點M，使以O、A、B、M為頂點的四邊形面積最大，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）設出拋物線方程，利用已知條件求解即可．
（2）以O、A、B、M為頂點的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個三角形面積最大，則四邊形面積即最大．通過①當0＜x≤4時，推出x=2時，S_△OBM最大值為8，②當4＜x≤5時，推出當x=$\frac{9}{2}$時，S_△ABM最大值為$\frac{1}{8}$，然后求解四邊形的面積最大．

解答 解：（1）∵該拋物線經(jīng)過點A（5，0），O（0，0），
∴該拋物線的解析式可設為y=a（x-0）（x-5）=ax（x-5）．
∵點B（4，4）在該拋物線上，∴a×4×（4-5）=4．∴a=-1．
∴該拋物線的解析式為y=-x（x-5）=-x²+5x．…2分
（2）以O、A、B、M為頂點的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個三角形面積最大，則四邊形面積即最大．
①當0＜x≤4時，點M在拋物線OB段上時，如答圖1所示．
∵B（4，4），∴易知直線OB的解析式為：y=x．
設M（x，-x²+5x），
過點M作ME∥y軸，交OB于點E，則E（x，x），
∴ME=（-x²+5x）-x=-x²+4x．
S_△OBM=S_△MEO+S_△MEB=$\frac{1}{2}$ME（x_E-0）+$\frac{1}{2}$ME（x_B-x_E）=$\frac{1}{2}$ME•x_B=$\frac{1}{2}$ME×4=2ME，
∴S_△OBM=-2x²+8x=-2（x-2）²+8
∴當x=2時，S_△OBM最大值為8，即四邊形的面積最大．….5分
②當4＜x≤5時，點M在拋物線AB段上時，圖略．可求得直線AB解析式為：y=-4x+20．
設M（x，-x²+5x），過點M作ME∥y軸，交AB于點E，則E（x，-4x+20），
∴ME=（-x²+5x）-（-4x+20）=-x²+9x-20．
S_△ABM=S_△MEB+S_△MEA=$\frac{1}{2}$ME（x_E-x_B）+$\frac{1}{2}$ME（x_A-x_E）=$\frac{1}{2}$ME•（x_A-x_B）=$\frac{1}{2}$ME×1=$\frac{1}{2}$ME，
∴S_△ABM=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x-10=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{1}{8}$，
∴當x=$\frac{9}{2}$時，S_△ABM最大值為$\frac{1}{8}$，即四邊形的面積最大．…8分
比較①②可知，當x=2時，四邊形面積最大．
當x=2時，y=-x²+5x=6，∴M（2，6）．….9分

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．