Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為

2

2

．以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短軸長(zhǎng)為直徑的圓與直線x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為k（k≠0）的直線l與x軸、橢圓C順次相交于點(diǎn)A、M、N（A點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)的右側(cè)），且∠NF₂F₁=∠MF₂A．求證：直線l過定點(diǎn)（2，0）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由題意知e=

c

a

=

2

2

，b=

2

1+1

=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由題意，設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=kx+m x2+2y2=2

得(2k2+1)x2+4kmx+(2m2-2)=0．由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能證明直線過定點(diǎn)（2，0）．

解答： （I）解：由題意知e=

c

a

=

2

2

，
所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

．即a²=2b²．
又因?yàn)閎=

2

1+1

=1，所以a²=2，b²=1．
故橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．（6分）
（Ⅱ）證明：由題意，設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

y=kx+m x2+2y2=2

得(2k2+1)x2+4kmx+(2m2-2)=0．
由△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，得m²＜2k²+1．
則有x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

．（8分）
因?yàn)椤螻F₂F₁=∠MF₂A，且∠MF₂A≠90°，
所以kMF2+kNF2=0，又F2(1，0)，（9分）

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=0，即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0．
化簡(jiǎn)得：2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0．
將x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

代入上式得m=-2k（滿足△＞0）．
直線l的方程為y=kx-2k，即直線過定點(diǎn)（2，0）．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．