Question

1．某中學(xué)為了普及奧運(yùn)會(huì)知識(shí)和提高學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的積極性，舉行了一次奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽．隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的成績(jī)，繪成如圖所示的莖葉圖，若規(guī)定成績(jī)?cè)?5分以上（包括75分）的學(xué)生定義為甲組，成績(jī)?cè)?5分以下（不包括75分）定義為乙組．
（Ⅰ）在這30名學(xué)生中，甲組學(xué)生中有男生7人，乙組學(xué)生中有女生12人，試問(wèn)有沒(méi)有90%的把握認(rèn)為成績(jī)分在甲組或乙組與性別有關(guān)；
（Ⅱ）記甲組學(xué)生的成績(jī)分別為x₁，x₂，…，x₁₂，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，求輸出的S的值；
（Ⅲ）競(jìng)賽中，學(xué)生小張、小李同時(shí)回答兩道題，小張答對(duì)每道題的概率均為$\frac{1}{3}$，小李答對(duì)每道題的概率均為$\frac{1}{2}$，兩人回答每道題正確與否相互獨(dú)立．記小張答對(duì)題的道數(shù)為a，小李答對(duì)題的道數(shù)為b，X=|a-b|，寫出X的概率分布列，并求出X的數(shù)學(xué)期望．

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；其中n=a+b+c+d
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界表：

P（K2＞k0）	0.100	0.050	0.010
k0	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （Ⅰ）作2×2列聯(lián)表，計(jì)算K²，對(duì)照數(shù)表即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)程序運(yùn)行的過(guò)程，得出該程序運(yùn)行后輸出的是求平均數(shù)，求出即可；
（Ⅲ）由已知得X的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）作出2×2列聯(lián)表：

	甲組	乙組	合計(jì)
男生	7	6	13
女生	5	12	17
合計(jì)	12	18	30

由列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算得K²=$\frac{{n（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{3{0×（7×12-5×6）}^{2}}{13×17×12×18}$≈1.83，
因?yàn)?.83＜2.706，故沒(méi)有90%的把握認(rèn)為成績(jī)分在甲組或乙組與性別有關(guān)；
（Ⅱ）根據(jù)程序運(yùn)行的過(guò)程，得出該程序運(yùn)行后輸出的是求甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
所以輸出S=$\frac{1}{12}$×（75+75+76+76+78+80+81+81+82+84+87+91）=80.5；
（Ⅲ）由已知得X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{3}$）+${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{2}$•（1-$\frac{1}{2}$）•$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{2}$•（1-$\frac{1}{2}$）•（1-$\frac{1}{3}$）+（1-$\frac{1}{2}$）•（1-$\frac{1}{2}$）•$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=2）=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•（1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{6}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

X的數(shù)學(xué)期望值為EX=0×$\frac{1}{3}$+1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了莖葉圖的應(yīng)用與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了二項(xiàng)分布的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是綜合性題目．