Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（1+lnx）．
（Ⅰ）求曲線f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）證明：e²f（x）＞e-$\frac{2{e}^{x}}{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出切點坐標，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算斜率，代入直線方程即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為證e²•x（1+lnx）＞$\frac{xe}{{e}^{x}}$-2，設(shè)g（x）=e²•x（1+lnx），（x＞0），h（x）=$\frac{xe}{{e}^{x}}$-2，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出g（x）的最小值和h（x）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）因為f（1）=e（1+0）=e，所以切點坐標為（1，e）------------------------------（1分）
又f′（x）=e^x（1+lnx+$\frac{1}{x}$），----------------------------------------（3分）
所以f′（1）=e（1+1+0）=2e，即切線斜率為2e，------------------------------------（4分）
因此切線方程為y-e=2e（x-1），即2ex-y-e=0--------------------------------（5分）
（Ⅱ）要證e²f（x）＞e-$\frac{{2e}^{x}}{x}$，即證e²•e^x（1+lnx）＞e-$\frac{{2e}^{x}}{x}$，
由于x＞0，e^x＞0，所以即證e²•x（1+lnx）＞$\frac{xe}{{e}^{x}}$-2----------------------------（7分）
設(shè)g（x）=e²•x（1+lnx），（x＞0），h（x）=$\frac{xe}{{e}^{x}}$-2，（x＞0），
則g′（x）=e²（2+lnx），
當0＜x＜e^-2時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當x＞e^-2時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
故g（x）_min=g（e^-2）=-1，即g（x）≥-1，當x=e^-2時等號成立；---------------------------------------------------（9分）
又h′（x）=$\frac{e（1-x）}{{e}^{x}}$，當0＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
當x＞1時，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）單調(diào)遞減
故h（x）_max=h（1）=-1，
即h（x）≤-1，當x=1時等號成立；-------------------------------------------------（11分）
所以g（x）＞h（x）在（0，+∞）上恒成立，
即e²•x（1+lnx）＞$\frac{xe}{{e}^{x}}$-2，
故e²f（x）＞e-$\frac{2{e}^{x}}{x}$．------------------------------------------------------（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．