Question

已知函數(shù)f（x）=

3x

2x2+2

，x∈[0，2]．
（1）求使方程f（x）-k=0（k∈R）存在兩個不同實數(shù)解時k的取值范圍；
（2）設函數(shù)g（x）=lnx+

1

2

x²-2x-m（x∈[1，3]），若對任意x₁∈[0，2]，總存在x₀∈[1，3]，使f（x₁）-g（x₀）=0，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）求導函數(shù)，可得f（x）在區(qū)間[0，1]上遞增，在[1，2]遞減，求出f（0）=0，f（1）=

3

4

，f（2）=

3

5

，即可求出k的取值范圍；
（2）確定f（x₁）∈[0，

3

4

]，要使f（x₁）-g（x₀）=0成立，則g（x₀）的值必須包含[0，

3

4

]．確定g（x）在[1，3]上單調(diào)性，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）f'（x）=

6(1-x2)

(2x2+2)2

，所以f（x）在區(qū)間[0，1]上遞增，在[1，2]遞減．
因為f（0）=0，f（1）=

3

4

，f（2）=

3

5

，
所以

3

5

≤k＜

3

4

．（4分）
（2）由（1）可知f（x₁）∈[0，

3

4

]，要使f（x₁）-g（x₀）=0成立，則g（x₀）的值必須包含[0，

3

4

]．
又g'（x）=

1

x

+x-2=

x2-2x+1

x

=

(x-1)2

x

≥0，
所以函數(shù)g（x）=lnx+

1

2

x²-2x-m在[1，3]上單調(diào)遞增，g（1）=-

3

2

-m，g（3）=ln3-

3

2

-m，
由g（1）=-

3

2

-m≤0，g（3）=ln3-

3

2

-m≥

3

4

，得-

3

2

≤m≤ln3-

9

4

．（12分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學生分析解決問題的能力，有一定的難度，確定函數(shù)的單調(diào)性是關鍵．