已知矩形,,點是的中點,將△沿折起到△的位置,使二面角是直二面角.
(1)證明:⊥面;
(2)求二面角的余弦值.
(1)證明見解析;(2).
解析試題分析:(1)一般是通過證明線面垂直得到線線垂直,即證明其中一條直線與另一條直線所在的平面垂直.(2)利用向量法求二面角的平面角,建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的一個運算求出兩個平面的法向量,進(jìn)而求出二面角的余弦值.
試題解析:(1)∵AD=2AB=2,E是AD的中點,
∴△BAE,△CDE是等腰直角三角形,∠BEC=90°,
又∵平面D'EC⊥平面BEC,面D'EC∩面BEC=EC
∴BE⊥面D'EC,∴BE⊥CD’.
又CD’⊥ED’,且BE∩ED’=E,故CD′⊥面BED’ 4分
(2)法一:設(shè)M是線段EC的中點,過M作MF⊥BC
垂足為F,連接D’M,D'F,則D'M⊥EC.
∵平面D'EC⊥平面BEC∴D'M⊥平面EBC
∴MF是D'F在平面BEC上的射影,由三垂線定理得:D'F⊥BC
∴∠D'FM是二面D'-BC-E的平面角. 8分
在Rt△D'MF中,,
,
∴二面角D’-BC—E的余弦值為 12分,
法二:如圖,以EB,EC為x軸、y軸,過E垂直于平面BEC的射線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
則
設(shè)平面BEC的法向量為;平面D'BC的法向量為
,
取x2=l
得
∴二面角D'-BC-E的余弦值為 12分
考點:1.用空間向量求平面間的夾角;2.直線與平面垂直的性質(zhì)
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(本小題滿分12分)在三棱柱中,側(cè)面為矩形,,,為的中點,與交于點,側(cè)面.
(1)證明:;
(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.
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如圖,在四棱錐中,平面ABCD,底面ABCD是菱形,,.
(1)求證:平面PAC;
(2)若,求與所成角的余弦值;
(3)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時,求PA的長.
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如圖,在三棱錐中,平面,,為側(cè)棱上一點,它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示.
(1)證明:平面;
(2)在的平分線上確定一點,使得平面,并求此時的長.
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正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直,,,,點M在線段EC上且不與E,C重合.
(Ⅰ)當(dāng)點M是EC中點時,求證:平面ADEF;
(Ⅱ)當(dāng)平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為時,求三棱錐M BDE的體積.
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右圖是一個直三棱柱(以為底面)被一平面所截得到的幾何體,截面為.已知,,,,.
(1)設(shè)點是的中點,證明:平面;
(2)求二面角的大;
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如圖,是邊長為3的正方形,,,與平面所成的角為.
(1)求二面角的的余弦值;
(2)設(shè)點是線段上一動點,試確定的位置,使得,并證明你的結(jié)論.
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