Question

已知函數(shù)f（x）=ax++c（a＞0）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x-1．
（1）試用a表示出b，c；
（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）證明：1+++L+＞ln（n+1）+（n≥1）．

Answer 1

解：（1）∵，
∴
∴f（1）=a+a-1+c=2a-1+c．
又∵點(diǎn)（1，f（1））在切線y=x-1上，
∴2a-1+c=0?c=1-2a，
∴．
（2）∵，
f（x）≥lnx在[1，+∞]上恒成立，
設(shè)g（x）=f（x）-lnx，則g（x）=f（x）-lnx≥0在[1，+∞]上恒成立，
∴g（x）_min≥0，
又∵，
而當(dāng)時(shí)，．
1°當(dāng)即時(shí)，
g'（x）≥0在[1，+∞]上恒成立，
∴；
2°當(dāng)即時(shí)，
g'（x）=0時(shí)；
且時(shí)，g'（x）＜0，
當(dāng)時(shí)，g'（x）＞0；
則①，
又∵與①矛盾，不符題意，故舍．
∴綜上所述，a的取值范圍為：[，+∞）．

（3）證明：由（1）可知時(shí)，f（x）≥lnx在[1，+∞]上恒成立，
則當(dāng)時(shí)，在[1，+∞]上恒成立，
令x依次取…時(shí)，
則有，，
…
，
由同向不等式可加性可得
，
即，
也即，
也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．
解法二：①當(dāng)n=1時(shí)左邊=1，右邊=ln2+＜1，不等式成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，就是1+++…+＞ln（k+1）+（k≥1）．
那么1+++…++＞ln（k+1）++
=ln（k+1）+．
由（2）知：當(dāng)時(shí)，有f（x）≥lnx （x≥1）
令有f（x）= （x≥1）
令x=得
∴
∴1+++…++＞
這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
根據(jù)（1）和（2），可知不等式對(duì)任何n∈N^*都成立．
分析：（1）通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值就是切線的斜率，切點(diǎn)在切線上，求出b，c即可．
（2）利用f（x）≥lnx，構(gòu)造g（x）=f（x）-lnx，問題轉(zhuǎn)化為g（x）=f（x）-lnx≥0在[1，+∞]上恒成立，
利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范圍；
（3）由（1）可知時(shí)，f（x）≥lnx在[1，+∞]上恒成立，則當(dāng)時(shí)，在[1，+∞]上恒成立，
對(duì)不等式的左側(cè)每一項(xiàng)裂項(xiàng)，然后求和，即可推出要證結(jié)論．
解法二：利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，證明不等式成立即可．
點(diǎn)評(píng)：本題是難題，考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，曲線切線的斜率，恒成立問題的應(yīng)用，累加法與裂項(xiàng)法的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用等知識(shí)，知識(shí)綜合能力強(qiáng)，方法多，思維量與運(yùn)算良以及難度大，需要仔細(xì)審題解答，還考查分類討論思想．