Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)AD=DE=2AB=2a，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出，AF?平面BCE，AF∥平面BCE．
（2）求出平面BCE的一個(gè)法向量，利用和的夾角求解即可．
解答：（1）證明：設(shè)AD=DE=2AB=2a，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則
A（0，0，0），C（2a，0，0），B（0，0，a），D（a，a，0），E（a，a，2a），．
∵F為CD的中點(diǎn)，∴F（）．（2分）
=（）．
=（a，a，a），
=（2a，0，-a），
∵，AF?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）解：設(shè)平面BCE的法向量為=（x，y，z），由可得：
，取x=1，則=（1，，2），（8分）
又=（），設(shè)BF和平面BCE所成的角為θ，
則sin==．
∴直線BF和平面BCE所成角的正弦值為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和平面平行的判定，線面角大小求解．由于本幾何體具有良好的建立空間直角坐標(biāo)系的條件，所以選用了向量方法．可以降低空間想象難度，但要注意計(jì)算和關(guān)系的轉(zhuǎn)化．