Question

在△OAB中，已知P為線段AB上一點(diǎn)，

OP

=x

OA

+y

OB

，

BP

=λ

PA

（λ為實(shí)數(shù)），OA=4，OB=2，∠AOB=60°
（1）當(dāng)λ=1時(shí)，求x，y的值；
（2）當(dāng)λ=3時(shí)，求

OP

•

AB

的值；
（3）當(dāng)2≤λ≤3時(shí)，求

OP

•

AB

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用中點(diǎn)的向量表示，即可得到x，y；
（2）運(yùn)用向量的三角形法則和向量的定比表示，及向量的數(shù)量積的定義，計(jì)算即可得到；
（3）運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，化簡(jiǎn)整理，再由分離變量法，結(jié)合條件即可得到所求范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)λ=1時(shí)，

BP

=

PA

，P為AB的中點(diǎn)，
則

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），則x=y=

1

2

；
（2）當(dāng)λ=3時(shí)，

BP

=3

PA

，
則

OP

-

OB

=3（

OA

-

OP

），
即有

OP

=

1

4

（3

OA

+

OB

），

OP

•

AB

=

1

4

（3

OA

+

OB

）•（

OB

-

OA

）
=

1

4

（

OB

2-3

OA

2+2

OA

•

OB

）
=

1

4

×（4-3×16+2×4×2×

1

2

）=-9；
（3）由于

BP

=λ

PA

（λ為實(shí)數(shù)），
則

OP

-

OB

=λ（

OA

-

OP

），
則

OP

=

OB +λ OA

1+λ

，
即有

OP

•

AB

=

1

1+λ

（

OB

+λ

OA

）•（

OB

-

OA

）
=

1

1+λ

（

OB

2-λ

OA

2+λ

OA

•

OB

-

OA

•

OB

）
=

1

1+λ

（4-16λ+4λ-4）=-

12λ

1+λ

=-12（1-

1

1+λ

）
=-12+

12

1+λ

．
當(dāng)2≤λ≤3時(shí)，即有3≤λ+1≤4，
即3≤

12

1+λ

≤4，
則有-9≤-12+

12

1+λ

≤-8．
則

OP

•

AB

的取值范圍為[-9，-8]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查中點(diǎn)的向量表示，考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．