Question

若對(duì)所有的實(shí)數(shù)x及1≤t≤

2

均有（x+t²+2）²+（x+at）²＞

1

8

成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：轉(zhuǎn)化思想,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：令函數(shù)f（x）=（x+t²+2）²+（x+at）²，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，得到2(

t2

2

-

at

2

+1)2＞

1

8

，進(jìn)一步得到
對(duì)1≤t≤

2

，有t2-at+2＜-

1

2

或t2-at+2＞

1

2

恒成立，然后分離參數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式求得最值，最后得到答案．

解答： 解：令f（x）=（x+t²+2）²+（x+at）²，
則f′（x）=2（x+t²+2）+2（x+at）=4x+2t²+4+2at，
當(dāng)x＜-

t2

2

-

at

2

-1時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x＞-

t2

2

-

at

2

-1時(shí)，f′（x）＞0，
∴f(x)min=f(-

t2

2

-

at

2

-1)=2(

t2

2

-

at

2

+1)2．
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)1≤t≤

2

，有2(

t2

2

-

at

2

+1)2＞

1

8

．
即(t2-at+2)2＞

1

4

．
也就是對(duì)1≤t≤

2

，有t2-at+2＜-

1

2

或t2-at+2＞

1

2

恒成立．
由t2-at+2＜-

1

2

，得a＞t+

7

2t

（1≤t≤

2

），即a＞

9

2

；
由t2-at+2＞

1

2

，得a＜t+

3

2t

（1≤t≤

2

），即a＜

6

．
綜上，實(shí)數(shù)a的范圍是a＜

6

或a＞

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是難題．