Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x-1+a，函數(shù)g（x）=ax+lnx，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與直線y=x相切，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，證明：f（x）≥g（x）+1；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象有且僅有一個公共點P（x₀，y₀），證明：x₀＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)在Q（x₁，y₁）點處切線是y=x，得到x₁，y₁的值，從而求出a的值即可；
（Ⅱ）令$F（x）=f（x）-g（x）={e^{x-1}}-lnx，F(xiàn)'（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}（x＞0）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出F（x）的最小值，從而證出結(jié)論即可；
（Ⅲ）令G（x）=e^x-1-lnx-ax+a（x＞0），等價于函數(shù)G（x）有且只有一個零點x₀，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)曲線y=f（x）在Q（x₁，y₁）點處切線是y=x，則$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}={x_1}}\\{f'（{x_1}）=1}\end{array}}\right.$
由于$f'（{x_1}）={e^{{x_1}-1}}$所以x₁=1，y₁=1，
由題意知：${y_1}={e^{{x_1}-1}}-a$，于是a=0．
（Ⅱ）證明：令$F（x）=f（x）-g（x）={e^{x-1}}-lnx，F(xiàn)'（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}（x＞0）$，
當(dāng)x∈（0，1）時，0＜e^x-1＜1，所以$0＜{e^{x-1}}＜1＜\frac{1}{x}$，
即$F'（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}＜0$，當(dāng)x∈（1，+∞）時，1＜e^x-1，所以${e^{x-1}}＞1＞\frac{1}{x}$，
即$F'（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}＞0$，于是F（x）=f（x）-g（x）=e^x-1-lnx
在（0，1）單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增，
其最小值是F（1）=1，所以F（x）=f（x）-g（x）≥1，于是原不等式成立．
（Ⅲ）令G（x）=e^x-1-lnx-ax+a（x＞0），
則函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象有且僅有一個公共點P（x₀，y₀）
等價于函數(shù)G（x）有且只有一個零點x₀，$G'（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}-a$，
注意到$G'（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}-a$為（0，+∞）上的增函數(shù)且值域為R，
所以$G'（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}-a$在（0，+∞）上有唯一零點x₁，
且G'（x）在（0，x₁）上為負，（x₁，+∞）上為正，所以G（x₁）為極小值，
又函數(shù)G（x）有唯一零點x₀，結(jié)合G（x）的單調(diào)性知x₁=x₀，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{G'（{x_0}）=0}\\{G（{x_0}）=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{{e^{{x_0}-1}}-\frac{1}{x_0}-a=0}\\{{e^{{x_0}-1}}-ln{x_0}-a{x_0}+a=0}\end{array}}\right.$，
即${e^{{x_0}-1}}-（{e^{{x_0}-1}}-\frac{1}{x_0}）{x_0}-ln{x_0}+（{e^{{x_0}-1}}-\frac{1}{x_0}）=0$，
即$（2-{x_0}）{e^{{x_0}-1}}+\frac{{{x_0}-1}}{x_0}-ln{x_0}=0$．令$H（x）=（2-x）{e^{x-1}}+\frac{x-1}{x}-lnx$，
顯然，x₀是H（x）的零點，$H'（x）=（1-x）{e^{x-1}}+\frac{1-x}{x^2}=（1-x）[{{e^{x-1}}+\frac{1}{x^2}}]（x＞0）$，
H'（x）在（0，1）上為正，（1，+∞）上為負，
于是H（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
注意到$H（1）=1＞0，H（2）=\frac{1}{2}-ln2=\frac{1}{2}（1-ln4）＜0$，
所以H（x）在（1，2）內(nèi)有一個零點，在[2，+∞）內(nèi)無零點，
所以H（x）的零點一定小于2，
從而函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象有且僅有一個公共點P（x₀，y₀）時一定有x₀＜2．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，是一道綜合題．