Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3，x∈R．
（1）若f（2-x）=f（2+x），求實(shí)數(shù)a的值？
（2）當(dāng)x∈[-2，4]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值？
（3）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，得到對(duì)稱(chēng)軸為x=2，繼而求出a的值，
（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸，分類(lèi)討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)f（x）的最大值，
（3）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸，分類(lèi)討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)f（x）的最小值，再根據(jù)f（x）≥a恒成立，求出a的最小值．

解答 解：（1）f（2-x）=f（2+x），
∴對(duì)稱(chēng)軸x=2，
∴-$\frac{1}{2}$a=2，
∴a=-4，
（2）f（x）=x²+ax+3=（x+$\frac{1}{2}$a）²+3-$\frac{1}{4}$a²，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$a≤-2時(shí)，即a≥4時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，4]單調(diào)遞增，∴f（x）_max=f（4）=4a+19，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$a≥4時(shí)，即a≤-8時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，4]單調(diào)遞減，∴f（x）_max=f（2）=2a+7，
當(dāng)-2＜-$\frac{1}{2}$a≤4時(shí)，即-8＜a＜4時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，-$\frac{1}{2}$a）單調(diào)遞減，在（-$\frac{1}{2}$a，4]單調(diào)遞增，
∵f（4）=4a+19，f（2）=2a+7，
當(dāng)4a+19≥2a+7時(shí)，即-6≤a＜4時(shí)，f（x）_max=f（4）=4a+19，
當(dāng)4a+19＜2a+7時(shí)，即-8＜a＜-6時(shí)，f（x）_max=f（2）=2a+7，
綜上所述：當(dāng)a≥-6時(shí)，f（x）_max=4a+19，當(dāng)a＜-6時(shí)，f（x）_max=2a+7；
（3）f（x）=x²+ax+3=（x+$\frac{1}{2}$a）²+3-$\frac{1}{4}$a²，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$a≤-2時(shí)，即a≥4時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，2]單調(diào)遞增，∴f（x）_min=f（-2）=-2a+7，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$a≥2時(shí)，即a≤-4時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，2]單調(diào)遞減，∴f（x）_min=f（2）=2a+7，
當(dāng)-2＜-$\frac{1}{2}$a≤2時(shí)，即-4＜a＜4時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，-$\frac{1}{2}$a）單調(diào)遞減，在（-$\frac{1}{2}$a，2]單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}a$）=3-$\frac{1}{4}$a²，
∵x∈[-2，2]時(shí)，f（x）≥a恒成立，
∴當(dāng)a≥4時(shí)，-2a+7≥a，解得a≤$\frac{7}{3}$，此時(shí)無(wú)解，
當(dāng)a≤-4時(shí)，2a+7≥a，解得a≥-7，即-7≤a≤-4，此時(shí)實(shí)數(shù)a的最小值為-7，
當(dāng)-4＜a＜4時(shí)，3-$\frac{1}{4}$a²≥a，解得-6≤a≤2，即-4＜a≤2，此時(shí)實(shí)數(shù)a的最小值為-4，
綜上所述a的最小值為-7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是分類(lèi)討論，屬于中檔題．