Question

已知函數(shù)f（x）=

bx+c

ax2+1

是R上的奇函數(shù)（a，b，c∈Z），f(

1

2

)=

2

5

，f（2）＞

1

3

，
（1）求a，b，c的值；
（2）判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性，并證明；
（3）判斷f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上的單調(diào)性（不需要證明），并寫出函數(shù)f（x）在R上的最值；
（4）利用單調(diào)性和奇偶性作出函數(shù)f（x）的草圖．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)圖象的作法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件建立條件關(guān)系即可，求a，b，c的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系即可判斷f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上的單調(diào)性；
（4）利用單調(diào)性和奇偶性即可作出函數(shù)f（x）的草圖．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

bx+c

ax2+1

是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即f（0）=c=0，
則f（x）=

bx

ax2+1

，
∵f(

1

2

)=

2

5

，f（2）＞

1

3

，
∴f(

1

2

)=

2

5

=

b 2

a 4 +1

=

2b

a+4

，f（2）=

2b

4a+1

＞

1

3

，
則a+4=5b且6b＞4a+1，
即6b＞4（5b-4）+1，
則14b＜15，即b＜

15

14

，
∵a，b，c∈Z，
∴b=0或b=1，
當(dāng)b=0時(shí)，a=-4不成立，
當(dāng)b=1時(shí)，a=1成立，即a=1，b=1，c=0；
（2）由（1）知a=1，b=1，c=0，則f（x）=

x

x2+1

，
則f（x）為奇函數(shù)，
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，設(shè)0≤x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

x 2 1 +1

-

x2

x 2 2 +1

=

(x2-x1)(x1x2-1)

(x12+1)(x22+1)

，
∵0≤x₁＜x₂＜1，
∴x₂-x₁＜0，x₁x₂-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，則f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在[0，1）上為增函數(shù)，
∴f（x）在（-1，1）上的單調(diào)遞增；
（3）f（x）在（-∞，-1）單調(diào)遞減，（1，+∞）上的單調(diào)遞減，
則函數(shù)f（x）在R上的最大值為f（1）=

1

2

，最小值為f（-1）=-

1

2

；
（4）利用單調(diào)性和奇偶性作出函數(shù)f（x）的草圖如圖：

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)解析式的求解，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．