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17.已知兩個(gè)不相等的非零向量a,兩組向量x1x2,x3,x4,x5y1y2,y3,y4y5均由2個(gè)a和3個(gè)排列而成,記S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.則下列命題正確的是②④(寫出所有正確命題的編號(hào)).
①S有5個(gè)不同的值;
②若a,則Smin與|a|無關(guān);
③若a,則Smin與|\overrightarrow|無關(guān);
④若||>4|a|,則Smin>0.

分析 寫出S的所有可能組合,計(jì)算它們的值,結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

解答 解:S共有三種組合方式,分別記作S1,S2,S3,
則S1=aa+aa++\overrightarrow•\overrightarrow+\overrightarrow•\overrightarrow=2a2+32
S2=\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow•\overrightarrow+a+a=4a+2
S3=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow+a++\overrightarrow•\overrightarrow=a2+2a+22
當(dāng)a時(shí),Smin=S2=2
當(dāng)a時(shí),a=|a|||或-|a|||.
當(dāng)|\overrightarrow|>4|a|時(shí),-4a2a<4a22>16a2,
∴S2>0,S3>0,又S1>0,
∴Smin>0.
綜上可得②④正確,①③錯(cuò)誤.
故答案為:②④.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,組合數(shù)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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