Question

11．函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的解析式為f（x）=$\frac{2}{x}$-1．
（1）用定義證明f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，由f（-x）=$\frac{2}{-x}$-1=-f（x），求得f（x）的解析式；再根據(jù)f（0）=0，求得f（x）在R上的解析式．

解答 （1）證明：設(shè)x₂＞x₁＞0，∵f（x₁）-f（x₂）=（$\frac{2}{{x}_{1}}$-1）-（$\frac{2}{{x}_{2}}$-1）=$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，
由題設(shè)可得x₂-x₁＞0，且x₂•x₁＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（-x）=$\frac{2}{-x}$-1=-f（x），∴f（x）=$\frac{2}{x}$+1．
又f（0）=0，故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{x}-1，x＞0}\\{0，x=0}\\{\frac{2}{x}+1，x＜0}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的解析式，奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．