Question

已知函數f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+

3

2

（ω∈R，x∈R）的最小正周期為π，且當x=

π

3

時，該函數取最大值．
（1）求f（x）解析式；
（2）作出f（x）在[0，π）范圍內的大致圖象．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，通過周期求出ω的值；求出函數的解析式．
（2）由x∈[0，π]，可得 2x+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]，列表作圖即得所求．

解答：解：（1）∵函數f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+

3

2

=

3

2

sin2ω x+1-

cos2ωx

2

 
=1-sin （2ωx+

π

6

）．
由于它的最小正周期為π，故

2π

ω

=π，∴ω=1．
故f（x）═1-sin（2x+

π

6

）．
（2）∵x∈[0，π]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]．列表如下：

2x+ π 6	π 6	π 2	π	3π 2	2π	13π 6
x	0	π 6	5π 12	8π 12	11π 12	π
sinx	1 2	1	0	-1	0	1 2
f（x）	1 2	0	1	2	1	1 2

如圖：

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象和性質，屬于中檔題．