Question

對于給定數(shù)列{c_n}，如果存在實常數(shù)p、q，使得c_n+1=pc_n+q對于任意n∈N^*都成立，我們稱數(shù)列{c_n}是“M類數(shù)列”．
（1）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，數(shù)列{a_n}、{b_n}是否為“M類數(shù)列”？若是，指出它對應(yīng)的實常數(shù)p，q，若不是，請說明理由；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*）．
①求數(shù)列{a_n}前2015項的和；
②已知數(shù)列{a_n}是“M類數(shù)列”，求a_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的求和

專題：計算題,綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)M類數(shù)列的定義，嘗試將a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*化為c_n+1=pc_n+q的形式即可；
（2）①由a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），將數(shù)列中的相鄰兩項兩兩和為一項，利用等比數(shù)列前n項和求和；
②由M類數(shù)列的定義出發(fā)，結(jié)合a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），推出實常數(shù)p、q，代入即可．

解答： 解：（1）∵a_n=2n，∴a_n+1=2+a_n，n∈N^*；
∴數(shù)列{a_n}是“M類數(shù)列”，對應(yīng)的實常數(shù)分別為1，2．
∵b_n=3•2ⁿ，∴b_n+1=2b_n，n∈N^*，
∴數(shù)列{b_n}是“M類數(shù)列”，對應(yīng)的實常數(shù)分別為2，0．
（2）①∵a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），
∴a₂+a₃=3•2²，a₄+a₅=3•2⁴，…，a₂₀₁₄+a₂₀₁₅=3•2²⁰¹⁴；
故數(shù)列{a_n}前2015項的和：
S₂₀₁₅=a₁+（a₂+a_3^）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₁₄+a₂₀₁₅）
=2+3•2²+3•2⁴+…+3•2²⁰¹⁴=2+3×

22(1-41007)

1-4

=2+2²⁰¹⁶-4=2²⁰¹⁶-2．
（2）∵數(shù)列{a_n}是“M類數(shù)列”，∴存在實常數(shù)p、q，
使得a_n+1=pa_n+q對于任意n∈N^*都成立，
則a_n+2=pa_n+1+q對于任意n∈N^*都成立，
∴（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q對于任意n∈N^*都成立，
又∵a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），且a_n+1+a_n+2=3•2ⁿ⁺¹（n∈N^*），
則有3•2ⁿ⁺¹=3•p2ⁿ+2q對于任意n∈N^*都成立，
即3•2ⁿ（2-p）=2q對于任意n∈N^*都成立，
因此2-p=0，2q=0；
此時，a_n+1=pa_n+q=2a_n，又∵a₁=2，
∴a_n=2ⁿ，n∈N^*．

點評：本題考查了學(xué)生對于新定義的接受能力與應(yīng)用能力，實質(zhì)考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，同時考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，同時考查了等比數(shù)列的前n項和公式，屬于難題．