Question

20．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，AA₁=5，D是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，記$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{A{A}_{1}}$（0＜λ＜1）．
（1）求λ為何值時(shí)，B₁F⊥BC₁；（2）當(dāng)λ=$\frac{2}{5}$時(shí)，求B₁F和平面DFC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空間坐標(biāo)系，求出B₁F與BC₁對(duì)應(yīng)的向量，利用直線(xiàn)垂直轉(zhuǎn)化為向量積為0，解方程即可．
（2）求出平面的法向量，利用向量法求出平面的法向量，利用直線(xiàn)和平面所成角的定義與向量數(shù)量積的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵AC=BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，
∴滿(mǎn)足AB²=AC²+BC²，
即AC⊥BC，
建立以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC₁分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，5），D（1，1，0），
A₁（2，0，5），B₁（0，2，5），
則$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-2，5），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，5），
記$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，5λ），故F（2，0，5λ），
則$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（2，-2，5λ-5），
∵B₁F⊥BC₁，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}F}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（2，-2，5λ-5）•（0，-2，5）=0，
即4+5（5λ-5）=0，
得λ=$\frac{21}{25}$．
（2）當(dāng)λ=$\frac{2}{5}$時(shí)，F(xiàn)（2，0，2），$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（-2，2，3），
則平面DCF中，$\overrightarrow{CF}$=（2，0，2），$\overrightarrow{CD}$=（1，1，0），
設(shè)平面DCF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CF}$=2x+2z=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CD}$=x+y=0，
令y=-1，得x=1，z=-1，
即$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
設(shè)B₁F和平面DFC所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{F{B}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{F{B}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{F{B}_{1}}|}$|=|$\frac{-2-2-3}{\sqrt{3}•\sqrt{4+4+9}}$|=$\frac{7}{\sqrt{3}•\sqrt{17}}$=$\frac{7\sqrt{51}}{51}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線(xiàn)垂直的判斷以及線(xiàn)面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法證明直線(xiàn)垂直以及求空間線(xiàn)面角是解決本題的關(guān)鍵．