Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x+2|+|6-x|-m}$的定義域?yàn)镽．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若實(shí)數(shù)m的最大值為n，正數(shù)a，b滿足$\frac{8}{3a+b}+\frac{2}{a+2b}$=n，求4a+3b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)定義域?yàn)镽，可得|x+2|+|6-x|≥m恒成立，設(shè)函數(shù)g（x）=||x+2|+|6-x||，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出其最小值即可；
（2）由（1）知n=8，變形，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)镽．
所以|x+2|+|6-x|≥m恒成立；
設(shè)g（x）=|x+2|+|6-x|，則g（x）_min≥m．
又|x+2|+|6-x|≥|（x+2）+（6-x）|=8，
當(dāng)且僅當(dāng)-2≤x≤6時(shí)，g（x）_min=8
所以m≤8．   
（2）有（1）可知，n=8，
∴$\frac{8}{3a+b}+\frac{2}{a+2b}=8$，
即$\frac{4}{3a+b}+\frac{1}{a+2b}=4$，有由于a，b均為正數(shù)，
所以4a+3b=$\frac{1}{4}$（4a+3b）•（$\frac{4}{3a+b}$+$\frac{1}{a+2b}$），
=$\frac{1}{4}$[（3a+b）+（a+2b）]•（$\frac{4}{3a+b}$+$\frac{1}{a+2b}$），
=$\frac{1}{4}$[5+$\frac{4（a+2b）}{3a+b}$+$\frac{3a+b}{a+2b}$]≥$\frac{1}{4}$（5+4）=$\frac{9}{4}$，
當(dāng)且2（a+2b）=3a+b，即$a=3b=\frac{9}{20}$時(shí)，上式等號(hào)成立．
所以4a+3b的最小值是$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域、絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、“乘1法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．