Question

18．已知f（x），g（x）都是定義在R上的可導函數(shù)，并滿足以下條件：
①g（x）≠0
②f（x）=2a^xg（x）（a＞0，a≠1）
③f（x）g′（x）＜f′（x）g（x）
若$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=5，則a=2．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，分析可得h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=2a^x，對其求導分析可得h′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＞0，可得h（x）=2a^x為增函數(shù)，由$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=5可得2a+$\frac{2}{a}$=5，計算可得a的值，結(jié)合a的范圍取舍即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，
由f（x）=2a^xg（x）可得h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=2a^x，
則其導數(shù)h′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$，
又由f（x）g′（x）＜f′（x）g（x），
則h′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＞0，即h（x）=2a^x為增函數(shù)，故a＞1，
若$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=5，即2a+$\frac{2}{a}$=5，
解可得a=2或$\frac{1}{2}$，
又由a＞1，則a=2；
故答案為：2．

點評 本題考查導數(shù)的計算，注意“f（x）g′（x）＜f′（x）g（x）”條件的運用．