Question

9．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且S₁，2S₂，3S₃成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)$\frac{1}{b_n}={log_3}{a_{n+1}}•lo{g_3}{a_{n+2}}$求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比q，利用等差數(shù)列的定義和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和列出關(guān)于q的方程，通過(guò)解方程求得q的值；然后由等比數(shù)列的定義求得其通項(xiàng)公式；
（2）利用（1）中的通項(xiàng)公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的乘法計(jì)算法則求得{b_n}的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比q，
∵a₁=1，
∴S₂=1+q，${S_3}=1+q+{q^2}$．
∵2S₂-S₁=3S₃-2S₂
∴3q²-q=0．
∵q≠0，
∴$q=\frac{1}{3}$，
∴${a_n}={（{\frac{1}{3}}）^{n-1}}$．
（2）$\frac{1}{b^n}={log_3}{（{\frac{1}{3}}）^n}•{log_3}{（{\frac{1}{3}}）^{n+1}}=n（{n+1}）$，
∴${b_n}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$（1-\frac{1}{2}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．