Question

已知函數(shù)f（x）=axlnx+b（a，b為常數(shù)）在（1，0）處切線方程y=x-1
（Ⅰ）試求a，b的值．  
（Ⅱ）若方程f（x）=m有兩不等實(shí)數(shù)根，求m的范圍．
（Ⅲ）g（x）=f′（x），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為y=g（x）曲線上不同兩點(diǎn)，記直線AB的斜率為k，證明：k＞g′（

x1+x2

2

）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知切線方程，得出f（1）=0，f′（1）=1，列方程組求出a，b；
（Ⅱ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，進(jìn)而得到極小值，即最小值，由條件即可得到m的范圍；
（Ⅲ）運(yùn)用分析法，要證k＞g′（

x1+x2

2

），即證

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

，設(shè)x₁＜x₂，且

x1

x2

=t（0＜t＜1），即證lnt＞

2(t-1)

t+1

，設(shè)h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答： （Ⅰ）解：函數(shù)f（x）=axlnx+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a（1+lnx），
在（1，0）處切線斜率為a，
由切線方程y=x-1，可得a=1，
又f（1）=0，即有b=0；
（Ⅱ）解：f（x）=xlnx，導(dǎo)數(shù)f′（x）=lnx+1，
當(dāng)x＞

1

e

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，當(dāng)0＜x＜

1

e

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=

1

e

時(shí)，f（x）取得極小值，也為最小值，且為-

1

e

，
若方程f（x）=m有兩不等實(shí)數(shù)根，則-

1

e

＜m＜0；
（Ⅲ）證明：g（x）=f′（x）=lnx+1，g′（x）=

1

x

，
要證k＞g′（

x1+x2

2

），即證

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

，
即證ln

x1

x2

＞

2x1 x2 -2

x1 x2 +1

，
設(shè)x₁＜x₂，且

x1

x2

=t（0＜t＜1），即證lnt＞

2(t-1)

t+1

，
即證lnt-

2(t-1)

t+1

＞0．
設(shè)h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，h′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t+3)(t-1)

t(t+1)2

＜0，
即有h（t）在（0，1）遞減，
h（t）＞h（1）=0，
則有l(wèi)nt-

2(t-1)

t+1

＞0，
即有k＞g′（

x1+x2

2

）成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．