Question

13．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是邊長為2的等邊三角形，過A₁C作平面A₁CD平行于BC₁，交AB于D點，
（Ⅰ）求證：CD⊥AB
（Ⅱ）若四邊形BCC₁B₁是正方形，且A₁D=5$\sqrt{5}$，求直線A₁D與平面CBB₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結AC₁，設AC₁與A₁C相交于點E，連接DE，則E為AC₁中點，證明D為AB的中點，即可證明：CD⊥AB
（Ⅱ）取B₁C₁的中點H，連結A₁H，證明∠A₁FH為直線A₁D與平面BCC₁B₁所成的角，即可得出結論．

解答 （I）證明：連結AC₁，設AC₁與A₁C相交于點E，連接DE，則E為AC₁中點，（2分）
∵BC₁∥平面A₁CD，DE=平面A₁CD∩平面ABC₁
∴DE∥BC₁，（4分）
∴D為AB的中點，
又∵△ABC為正△，∴CD⊥AB-（6分）
（ II）解：取B₁C₁的中點H，連結A₁H，則A₁H⊥B₁C₁（7分）
∵四邊形BCC₁B₁是正方形，且A₁D=$\sqrt{5}$，D為AB的中點，
∴AA₁⊥AD，AA₁⊥A₁C，
∴AA₁⊥面A₁B₁C₁，故AA₁⊥A₁H，∴BB₁⊥A₁H．
∵B₁C₁∩BB₁=B₁，∴A₁H⊥面BCCB₁------（9分）
延長A₁D，B₁B相交于點F，連結FH，

則∠A₁FH為直線A₁D與平面BCC₁B₁所成的角．（10分）
因為D為AB的中點，故A₁F=2$\sqrt{5}$，又A₁H=$\sqrt{3}$
∴sin∠A₁FH=$\frac{\sqrt{15}}{10}$，
即直線A₁D與平面BCC₁B₁所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{10}$．（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查直線A₁D與平面BCC₁B₁所成的角的正弦值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．