Question

8．下面有5個命題：
①函數y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π．
②若α為第二象限角，則$\frac{α}{3}$在一、三、四象限；
③在同一坐標系中，函數y=sin x的圖象和函數y=x的圖象有3個公共點．
④把函數y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$得到y(tǒng)=3sin2x的圖象．
⑤函數y=sin（x-$\frac{π}{2}$）在[0，π]上是減函數．
其中，真命題的編號是①④．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析 展開平方差公式化簡判斷①；寫出第二象限角的范圍，得到$\frac{α}{3}$的范圍判斷②；利用輔助函數y=sinx-x的零點個數判斷③；直接由函數的圖象平移判斷④；利用誘導公式化簡后結合復合函數的單調性判斷⑤．

解答 解：①函數y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=-cos2x，最小正周期是π，故①正確；
②若α為第二象限角，則$\frac{π}{2}+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z$，$\frac{π}{6}+\frac{2kπ}{3}＜$$\frac{α}{3}$＜$\frac{π}{3}+\frac{2kπ}{3}$，k∈Z，在一、二、四象限，故②錯誤；
③令y=sinx-x，則y′=cosx-1≤0，則函數y=sinx-x在實數集上為減函數，又當x=0時y=0，
∴在同一坐標系中，函數y=sin x的圖象和函數y=x的圖象有1個公共點，故③錯誤；
④把函數y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$得到y(tǒng)=3sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=3sin2x的圖象，故④正確；
⑤函數y=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx，在[0，π]上是增函數，故⑤錯誤．
∴真命題的序號為①④．
故答案為：①④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了與三角函數有關的復合函數的圖象和性質，是中檔題．