Question

8．下面有5個(gè)命題：
①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π．
②若α為第二象限角，則$\frac{α}{3}$在一、三、四象限；
③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sin x的圖象和函數(shù)y=x的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)．
④把函數(shù)y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$得到y(tǒng)=3sin2x的圖象．
⑤函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{2}$）在[0，π]上是減函數(shù)．
其中，真命題的編號(hào)是①④．（寫出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

分析 展開平方差公式化簡判斷①；寫出第二象限角的范圍，得到$\frac{α}{3}$的范圍判斷②；利用輔助函數(shù)y=sinx-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷③；直接由函數(shù)的圖象平移判斷④；利用誘導(dǎo)公式化簡后結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷⑤．

解答 解：①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=-cos2x，最小正周期是π，故①正確；
②若α為第二象限角，則$\frac{π}{2}+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z$，$\frac{π}{6}+\frac{2kπ}{3}＜$$\frac{α}{3}$＜$\frac{π}{3}+\frac{2kπ}{3}$，k∈Z，在一、二、四象限，故②錯(cuò)誤；
③令y=sinx-x，則y′=cosx-1≤0，則函數(shù)y=sinx-x在實(shí)數(shù)集上為減函數(shù)，又當(dāng)x=0時(shí)y=0，
∴在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sin x的圖象和函數(shù)y=x的圖象有1個(gè)公共點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；
④把函數(shù)y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$得到y(tǒng)=3sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=3sin2x的圖象，故④正確；
⑤函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx，在[0，π]上是增函數(shù)，故⑤錯(cuò)誤．
∴真命題的序號(hào)為①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．