已知拋物線C：x2=2py（p為正常數(shù)）的焦點(diǎn)為F，過F做一直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng)P，Q兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱時(shí)，|PQ|=4，求拋物線的方程；
（2）若△POQ的面積記為S，求
S2|PQ|
的值．
分析：（1）根據(jù)拋物線的定義可知2p=|PQ|進(jìn)而求得p，則拋物線方程可得．
（2）根據(jù)（1）中拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程，代入拋物線方程消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2和x1x2的值，進(jìn)而根據(jù)弦長公式求得|PQ|，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求得原點(diǎn)到直線l的距離，進(jìn)而可求得三角形POQ的面積，最后代入
S2
|PQ|
即可求得答案．
解答：解（1）由已知|PQ|=4，根據(jù)拋物線的對稱性可知所以2p=|PQ|=4，所以拋物線方程x2=4y
（2）顯然直線l斜率存在，F(0，
p
2
)設(shè)l：y=kx+
p
2

代入C：x2=2py得x2-2pkx-p2=0，x1+x2=2pk，x1x2=-p2，
求得弦長|PQ|=2p（1+k2），原點(diǎn)到直線l距離
p
2
1+k2
，
S2=
1
4
•(
p
2
1+k2
)2|PQ|2，所以
S2
|PQ|
=
p3
8
點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了直線與拋物線的關(guān)系以及拋物線焦點(diǎn)弦的問題，平面幾何的知識(shí)．綜合性較強(qiáng)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py（p＞0），其焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為
12
．
（1）試求拋物線C的方程；
（2）設(shè)拋物線C上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（t＞0），過P的直線交C于另一點(diǎn)Q，交x軸于M，過點(diǎn)Q作PQ的垂線交C于另一點(diǎn)N，若MN是C的切線，求t的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=
12
y和定點(diǎn)P（1，2），A、B為拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數(shù)．
（I）求證：直線AB的斜率是定值；
（II）若拋物線C在A、B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)M，求M的軌跡方程；
（III）若A′與A關(guān)于y軸成軸對稱，求直線A′B與y軸交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py，過點(diǎn)A（0，4）的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，且OM⊥ON．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點(diǎn)N作y軸的平行線與直線y=-4相交于點(diǎn)Q，若△MNQ是等腰三角形，求直線MN的方程．K．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=ay（a＞0），斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且拋物線上一點(diǎn)M(2
2
 ， m) (m＞1)到點(diǎn)F的距離是3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若k＞0，且
AF
=3
FB
，求k的值．
（Ⅲ）過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點(diǎn)為點(diǎn)Q，求證：
AB
 • 
FQ
=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2my（m＞0）和直線l：y=x-m沒有公共點(diǎn)（其中m為常數(shù)）．動(dòng)點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)引拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，且直線MN恒過點(diǎn)Q（1，1）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知O點(diǎn)為原點(diǎn)，連接PQ交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，求
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
的值．

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