Question

1．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+|x-a|（x∈R，a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）已知函數(shù)f（x）在R上不單調(diào)．
①記f（x）在x∈[-1，1]上的最大值、最小值分別為M（a），m（a），求M（a）-m（a）；
②設(shè)b∈R，若|f（x）+b|≤$\frac{2}{3}$對任意實數(shù)x∈[-1，1]都成立，求a-b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論當(dāng)x≥a時，當(dāng)x＜a時，去掉絕對值，討論單調(diào)性，可得a的范圍；
（2）①由f（x）在在R上不單調(diào)，可得a＞-1．討論當(dāng)a≥1時，當(dāng)a=$\frac{1}{3}$時，當(dāng)-1＜a＜$\frac{1}{3}$時，當(dāng)$\frac{1}{3}$＜a＜1時，討論單調(diào)性，可得f（x）的最大值和最小值，即可得到所求；
②由題意可得-$\frac{2}{3}$≤f（x）+b≤$\frac{2}{3}$，對任意實數(shù)x∈[-1，1]都成立．即為-$\frac{2}{3}$≤f（x）+b的最小值，$\frac{2}{3}$≥f（x）+b的最大值，由①的最值，解不等式，即可得到所求a-b的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+|x-a|，
當(dāng)x≥a時，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x-a，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x＜a時，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+a-x，f′（x）=x²-1，
由題意可得a≤-1時，f′（x）＞0在x＜a恒成立，
故a的取值范圍是（-∞，-1]；
（2）①由f（x）在在R上不單調(diào)，可得a＞-1．
當(dāng)a≥1時，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+|x-a|=$\frac{1}{3}$x³+a-x，
f′（x）=x²-1，f′（x）≤0，f（x）在[-1，1]遞減，
可得f（-1）取得最大值，f（1）取得最小值．
即有M（a）=a+$\frac{2}{3}$，m（a）=a-$\frac{2}{3}$，則M（a）-m（a）=$\frac{4}{3}$；
當(dāng)a=$\frac{1}{3}$時，f（x）在[-1，$\frac{1}{3}$]遞減，[$\frac{1}{3}$，1]遞增，
則f（x）的最小值為$\frac{1}{81}$，最大值為1；
當(dāng)-1＜a＜$\frac{1}{3}$時，f（x）在[-1，a]遞減，[a，1]遞增，
f（-1）=-$\frac{1}{3}$+|-1-a|=-$\frac{1}{3}$+a+1=a+$\frac{2}{3}$，f（1）=$\frac{1}{3}$+|1-a|=$\frac{1}{3}$+1-a=$\frac{4}{3}$-a
即有f（-1）＜f（1），
則f（x）的最小值為f（a）=$\frac{1}{3}$a³，最大值為$\frac{4}{3}$-a；
當(dāng)$\frac{1}{3}$＜a＜1時，f（x）在[-1，a]遞減，[a，1]遞增，
即有f（-1）＞f（1），
則f（x）的最小值為f（a）=$\frac{1}{3}$a³，最大值為a+$\frac{2}{3}$．
綜上可得，M（a）-m（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}-a-\frac{1}{3}{a}^{3}，-1＜a≤\frac{1}{3}}\\{a+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}{a}^{3}，\frac{1}{3}＜a＜1}\\{\frac{4}{3}，a≥1}\end{array}\right.$；
②設(shè)b∈R，若|f（x）+b|≤$\frac{2}{3}$對任意實數(shù)x∈[-1，1]都成立，
即有-$\frac{2}{3}$≤f（x）+b≤$\frac{2}{3}$，對任意實數(shù)x∈[-1，1]都成立．
當(dāng)a≥1時，-$\frac{2}{3}$≤b+a-$\frac{2}{3}$，且$\frac{2}{3}$≥b+a+$\frac{2}{3}$，
即有a+b=0，即b=-a，a-b的范圍是[2，+∞）；
當(dāng)-1＜a≤$\frac{1}{3}$時，可得-$\frac{2}{3}$≤b+$\frac{1}{3}$a³，且$\frac{2}{3}$≥b+$\frac{4}{3}$-a，
即有-$\frac{55}{81}$≤b≤-$\frac{1}{3}$，可得a-b的范圍是（$\frac{2}{3}$，$\frac{82}{81}$]；
當(dāng)$\frac{1}{3}$＜a＜1時，可得-$\frac{2}{3}$≤b+$\frac{1}{3}$a³，且$\frac{2}{3}$≥b+a+$\frac{2}{3}$，
即有-1＜b＜-$\frac{1}{3}$，可得a-b的范圍是（$\frac{2}{3}$，2]．
綜上可得a-b的范圍是（$\frac{2}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要是函數(shù)的單調(diào)性和最值的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，以及不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．