Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，其中ABCD是正方形，AA₁＞AB．設點A到直線B₁D的距離和到平面DCB₁A₁的距離分別為d₁，d₂，則

d1

d2

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：棱柱的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：設AB=a，AA₁=b（b＞a），利用長方體中的垂直關系和面積相等求出d₁，連接A₁D、過A作AE⊥A₁D，利用長方體中的垂直關系、線面垂直的判定定理和定義，得到d₂=AE，利用面積相等求出d₂，化簡

d1

d2

后設t=

a2

b2

，求出0＜t＜1，化簡后利用基本不等式和函數的單調性求出

d1

d2

的范圍．

解答： 解：設AB=a，AA₁=b，由AA₁＞AB得b＞a，
所以點A到直線B₁D的距離d₁=

AD•AB1

B1D

=

a a2+b2

2a2+b2

，
連接A₁D，過A作AE⊥A₁D，
由CD⊥平面ADD₁A₁得，CD⊥AE，又AE⊥A₁B，則AE⊥平面DCB₁A₁，
所以AE為點A到平面DCB₁A₁的距離，
則d₂=AE=

AD•AA1

A1D

=

ab

a2+b2

，
所以

d1

d2

=

a(a2+b2)

ab 2a2+b2

=

a2+b2

b 2a2+b2

，上式分子分母同除以b²得，

d1

d2

=

a2 b2 +1

2 a2 b2 +1

，
設t=

a2

b2

，則0＜t＜1，代入上式可得

d1

d2

=

t+1

2t+1

，
設y=

t+1

2t+1

=

t2+2t+1 2t+1

=

1 2 • (t+ 1 2 )2+t+ 1 2 + 1 4 t+ 1 2

=

1 2 •[t+ 1 2 + 1 4(t+ 1 2 ) +1]

≥

1 2 (2 1 4 +1)

=1，
當且僅當t+

1

2

=

1

4(t+ 1 2 )

時取等號，此時t=0，
因為0＜t＜1，函數y在（0，1）上是增函數，當t=1時，y=

2

3

=

2 3

3

，
所以1＜y＜

2 3

3

，

d1

d2

∈(1，

2 3

3

)，
故答案為：(1，

2 3

3

)．

點評：本題的考點是點、線、面間的距離計算，線面垂直的判定定理和定義，面積相等法求距離，關鍵是利用長方體的幾何特征尋找表示點面距離的線段，再轉化為函數關系利用函數的單調性、基本不等式求最值，注意換元法的應用以及變量的范圍確定，屬于難題．