Question

設(shè)f（x）=

xax

ax-1

-

x

2

（a＞0且a≠1）
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）＜0在定義域上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0恒成立即可．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
則f（x）=x•（

ax

ax-1

-

1

2

）=x•

ax+1

2(ax-1)

，
則f（-x）=-x•

a-x+1

2(a-x-1)

=-x•

1+ax

2(1-ax)

=x•

ax+1

2(ax-1)

=f（x），
則f（x）是偶函數(shù)．
（2）∵f（x）是偶函數(shù)，
∴若f（x）＜0在定義域上恒成立，
則只要當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0恒成立即可，
即x•

ax+1

2(ax-1)

＜0，x＞0，
則等價(jià)為a^x-1＜0在x＞0恒成立，
即a^x＜1在x＞0恒成立，
則0＜a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及不等式恒成立問題，利用函數(shù)奇偶性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．