Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），且點(diǎn)（-1，）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)Q（，0），動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)F，且直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，證明：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知：c=1，根據(jù)橢圓定義可求得a，根據(jù)b²=a²-c²可得b；
（Ⅱ）分直線l的斜率為0，不為0兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)直接按照向量數(shù)量積運(yùn)算即可；當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為：x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉x得y的二次方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積公式代入運(yùn)算可得結(jié)論；
解答：（Ⅰ）解：由題意知：c=1．
根據(jù)橢圓的定義得：，解得．
所以 b²=2-1=1．
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，．
則 ．
當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為：x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由，可得：（t²+2）y²+2ty-1=0．
顯然△＞0，則，
因?yàn)閤₁=ty₁+1，x₂=ty₂+1，
所以=
=
=
=，即 ．
綜上，=-，即為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程、直線方程及其位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力．