Question

已知x∈R，

OA

=（2acos²x，1），

OB

=（2，2

3

asin2x+2-a），y=

OA

•

OB

，
（1）當(dāng)x∈[0，

p

2

]時，f （x）的最大值為5，求a的值
（2）當(dāng)a＜0時，求函數(shù)y=f （x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先利用降冪公式進(jìn)行化簡，然后利用輔助角公式化成y=Asin（ωx+φ）+B的形式，討論a的符號，最后根據(jù)f （x）的最大值為5，建立等式關(guān)系，求出a的值即可；
（2）當(dāng)a＜0時，求出函數(shù)f （x）的單調(diào)遞減區(qū)間，然后根據(jù)x∈[0，π]，求出在此區(qū)間上符合條件的范圍即可．

解答：解：（1）y=4acos²x+2

3

asin2x+2-a
=2

3

asin2x+2acos2x+2+a
=4asin（2x+

π

6

）+2+a　…（3分）
∵x∈[0，

p

2

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
當(dāng)a=0，不合
若a＞0，當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時f （x）最大值為2+5a=5，∴a=

3

5

，
若a＜0，當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

時f （x）最大值為2-a=5，∴a=-3　　　　（7分）
（2）a＜0，此時f （x）=4asin（2x+

π

6

）+2+a，
單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z　…（10分）
∵x∈[0，π]∴單調(diào)遞減區(qū)間為[0，

π

6

]和[

2π

3

，π]…（12分）

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的化簡，以及利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最值和函數(shù)的單調(diào)性的判定，屬于中檔題．