Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₂=3，a₅=6．．
（1）求a_n；
（2）設(shè)bn=

1

an•an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a_n=n+1．
（2）由bn=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n的取值范圍．

解答： 解：（1）∵在等差數(shù)列{a_n}中，a₂=3，a₅=6，
∴依題意可知

a1+d=3 a1+4d=6

，
解得a₁=2，d=1…．（4分）
故a_n=2+（n-1）×1=n+1．…（6分）
（2）∵bn=

1

an•an+1

，
∴bn=

1

(n+1)(n+2)

…．（7分）
=

1

n+1

-

1

n+2

…..（9分）
∴Sn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

…（10分）
顯然n增大，趨向無(wú)窮大，

1

n+2

變小，并且趨向0
故當(dāng)n=1時(shí)取最小值

1

6

，
∴

1

6

≤Sn＜

1

2

…..（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．