Question

如圖，函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，

1

4

），函數(shù)g（x）=x²-bx（b＞0）
①設(shè)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)y=g（x）在y=f（x）的下方，在圖中畫出一個(gè)符合題意的函數(shù)y=g（x）的大致圖象；
對(duì)所有符合題意的函數(shù)y=g（x），寫出b的取值范圍
②設(shè)函數(shù)f（x）的反函數(shù)為y=f^-1（x），若當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y=f^-1（x）與y=g（x）至少要有一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為正實(shí)數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：①運(yùn)用代入法，求得f（x）的解析式，分別求出f（x）和g（x）在[0，2]的值域，通過(guò)圖象得到

1

4

＞4-2b，解出b的范圍，畫出一個(gè)g（x）的圖象；
②求出f（x）的反函數(shù)，對(duì)x討論，由于0＜x＜1時(shí)，f^-1（x）＞0，x≥1時(shí)，f^-1（x）≤0，則對(duì)x≥1時(shí)，g（x）＞0恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性求出最小值，即可得到b的范圍．

解答： 解：①函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)
點(diǎn)A（2，

1

4

），則a²=

1

4

，可得a=

1

2

，即f（x）=（

1

2

）^x，
g（x）=x²-bx=（x-

b

2

）²-

b2

4

，由x∈[0，2]時(shí)，
函數(shù)y=g（x）的圖象在y=f（x）的下方，由于b＞0，
g（x）在[0，2]的范圍為[-

b2

4

，4-2b]，f（x）在[0，2]的范圍是
[

1

4

，1]，則有

1

4

＞4-2b，解得b＞

15

8

，
即b的取值范圍為（

15

8

，+∞）；
②函數(shù)f（x）的反函數(shù)為y=f^-1（x）=log

1

2

x，
由當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y=f^-1（x）與y=g（x）至少要有一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為正實(shí)數(shù)，
由于0＜x＜1時(shí)，f^-1（x）＞0，x≥1時(shí)，f^-1（x）≤0，
則對(duì)x≥1時(shí)，g（x）＞0恒成立，即有x²-bx＞0，
b＜x對(duì)x≥1恒成立，即有0＜b＜1，
則b的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要是函數(shù)的單調(diào)性和值域，注意運(yùn)用參數(shù)分離和不等式恒成立思想以及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題和易錯(cuò)題．