Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，并且兩條漸近線與以點(diǎn)A（0，

2

）為圓心、1為半徑的圓相切，雙曲線C的一個焦點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對稱．
（1）求雙曲線C的漸近線和雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于P、Q兩點(diǎn)，另一直線l經(jīng)過M（-2，0）及線段PQ的中點(diǎn)N，求直線l在y軸的截距b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=kx，即kx-y=0，則可由圓心到漸近線的距離等于半徑求得k=±1，再設(shè)雙曲線的方程為：

x2

a2

-

y2

a2

=1，由c=

2

a=

2

求雙曲線方程；
（2）聯(lián)立方程組

x2-y2=1 y=mx+1

，由直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于P、Q兩點(diǎn)可知解中的x都小于0，從而可求得1＜m＜

2

；表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，從而寫出直線l的方程，表示出截距b，從而求范圍．

解答： 解：（1）設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=kx，即kx-y=0，
∵雙曲線的漸近線與已知的圓相切，圓心到漸近線的距離等于半徑，
∴

|0k- 2 |

k2+1

=1，
解得，k=±1；
∴雙曲線的漸近線的方程為：y=±x；
故設(shè)雙曲線的方程為：

x2

a2

-

y2

a2

=1，
則c=

2

a=

2

；
解得，a=1，
故雙曲線的方程是：x²-y²=1；
（2）聯(lián)立方程組

x2-y2=1 y=mx+1

，
消去y得：（m²-1）x²+2mx+2=0（*），
∵直線與雙曲線C的左支交于兩點(diǎn)，方程（*）兩根x₁、x₂為負(fù)數(shù)，
∴

△=4m2-8(m2-1)＞0 x1+x2=- 2m m2-1 ＜0 x1x2= 2 m2-1 ＞0

，
解得，1＜m＜

2

；
又∵線段PQ的中點(diǎn)N（x₀，y₀）坐標(biāo)滿足，
x₀=

-m

m2-1

，y₀=mx₀+1=

-1

m2-1

，
∴直線l的方程為：y=

-1 m2-1

-m m2-1 +2

（x+2），
即是y=

-1

2m2-m-2

（x+2）=

-1

2m2-m-2

x+2

-1

2m2-m-2

，
直線l在y軸的截距b=2

-1

2m2-m-2

=

-1

m2- 1 2 m-1

；
又∵1＜m＜

2

時，m²-

1

2

m-1的取值范圍是：（-

1

2

，1-

2

2

），
∴直線l的截距b的取值范圍是（-∞，-2-

2

）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了圓錐曲線的應(yīng)用，同時考查了學(xué)生的化簡與運(yùn)算的能力，屬于難題．