Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知第一象限內(nèi)的點P（a，b）在直線x+2y-2=0上，則$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}$的最小值是$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 第一象限內(nèi)的點P（a，b）在直線x+2y-2=0上，可得a+2b-2=0，即（a+b）+b=2，a，b＞0．則$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{2}$[（a+b）+b]$（\frac{4}{a+b}+\frac{1}）$=$\frac{1}{2}（5+\frac{4b}{a+b}+\frac{a+b}）$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵第一象限內(nèi)的點P（a，b）在直線x+2y-2=0上，
∴a+2b-2=0，即（a+b）+b=2，a，b＞0．
則$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{2}$[（a+b）+b]$（\frac{4}{a+b}+\frac{1}）$=$\frac{1}{2}（5+\frac{4b}{a+b}+\frac{a+b}）$≥$\frac{1}{2}（5+2\sqrt{\frac{4b}{a+b}•\frac{a+b}}）$=$\frac{9}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{2}{3}$時取等號．
∴$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}$的最小值是$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了點與直線方程的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．