Question

18．已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，${a_1}=2，{a_{n+1}}-{a_n}=\frac{4}{{{a_{n+1}}+{a_n}}}$，若數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_{n-1}}+{a_n}}}}\right\}$的前n項和為5，則n=120．

Answer 1

分析 先求出數(shù)列的通項公式，即可得到2$\sqrt{n+1}$=22，解得即可．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=2，a_n+1-a_n=$\frac{4}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$，
∴a_n+1²-a_n²=4，
∴a_n+1²=a_n²+4，
∴a_n+1=$\sqrt{4+{a}_{n}^{2}}$
∵a₁=2，
∴a₂=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴a₃=$\sqrt{4+8}$=2$\sqrt{3}$，
a₄=$\sqrt{4+12}$=2$\sqrt{4}$，
…
由此猜想a_n=2$\sqrt{n}$．
∵${a_1}=2，{a_{n+1}}-{a_n}=\frac{4}{{{a_{n+1}}+{a_n}}}$，若數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_{n-1}}+{a_n}}}}\right\}$的前n項和為5，
∴$\frac{1}{4}$（a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n+1-a_n）=$\frac{1}{4}$（a_n+1-2）=5
∴2$\sqrt{n+1}$=22
解得n+1=121，
∴n=120．
故答案為：120．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數(shù)列的遞推公式、累加法的合理運用．