Question

19．若函數(shù)y=f（x）的定義域D中恰好存在n個值x₁，x₂，…，x_n滿足f（-x_i）=f（x_i）（i=1，2，…，n），則稱函數(shù)y=f（x）為定義域D上的“n度局部偶函數(shù)”．已知函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin（\frac{π}{2}x）-1，x＜0}\\{lo{g}_{a}x（a＞0，a≠1），x＞0}\end{array}\right.$是定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函數(shù)”，則a的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件得到函數(shù)f（x）存在n個關(guān)于y軸對稱的點，作出函數(shù)關(guān)于y軸對稱的圖象，根據(jù)對稱性建立不等式關(guān)系 進行求解即可．

解答 解：由“n度局部偶函數(shù)”的定義可知，
函數(shù)存在關(guān)于y對稱的點有n個，
當x＜0時，函數(shù)g（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為y=sin（-$\frac{π}{2}$x）-1
=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0，
作出函數(shù)g（x）和函數(shù)y=h（x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
x＞0的圖象如圖：
若g（x）是定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函數(shù)”，
則等價為函數(shù)g（x）和函數(shù)y=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0的圖象有且只有3個交點，
若a＞1，則兩個函數(shù)只有一個交點，不滿足條件；
當0＜a＜1時，則滿足$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{g（2）＞h（2）}\\{g（4）＜h（4）}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{lo{g}_{a}2＞-1}\\{lo{g}_{a}4＜-1}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a＜\frac{1}{2}}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
故答案為：（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，根據(jù)條件得到函數(shù)對稱點的個數(shù)，作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．