若直線y=x是曲線y=x3-3x2+ax-1的切線,則a的值為
4或-
11
4
4或-
11
4
分析:設出直線y=x與曲線y=x3-3x2+ax-1的切點,求出曲線在切點處的導數(shù)值,由導數(shù)值等于1列一個關于切點橫坐標和a的方程,再由切點在直線y=x上得另一方程,兩個方程聯(lián)立可求a的值.
解答:解:由y=x3-3x2+ax-1,得:y=3x2-6x+a.
設直線y=x與曲線y=x3-3x2+ax-1切于(x0x03-3x02+ax0-1),
y|x=x0=3x02-6x0+a,所以,3x02-6x0+a=1
由(x0x03-3x02+ax0-1)在直線y=x上,
x03-3x02+ax0-1=x0
由①得,a=1+6x0-3x02
把③代入②得:x03-3x02+(1+6x0-3x02)•x0-1=x0
整理得:2x03-3x02+1=0,
(x0-1)2(2x0+1)=0
所以,x0=1或x0=-
1
2

當x0=1時,a=1+6×1-3×12=4.
x0=-
1
2
時,a=1+6×(-
1
2
)-3×(-
1
2
)2
=1-3-
3
4
=-
11
4

所以a的值為4或-
11
4

故答案為4或-
11
4
點評:本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程,函數(shù)在某點處的導數(shù),就是對應曲線上在該點處的切線的斜率,考查了利用因式分解求解一元三次方程.此題是中檔題.
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