Question

6．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=bcosC-$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，AB=2，BC=1，求BD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知可得cosBsinC=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，又sinC≠0，從而可求tanB=-$\sqrt{3}$，結(jié)合B為三角形內(nèi)角，即可得解B的值．
（Ⅱ）由D為邊AC的中點(diǎn)，可得2$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，兩邊平方，即可得解BD的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵a=bcosC-$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB，
∴由正弦定理可得：sinA=sinBcosC-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，
∴sin（B+C）=sinBcosC-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，
∴cosBsinC=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，
又∵C為三角形內(nèi)角，可得sinC≠0，
∴tanB=-$\sqrt{3}$，
又∵B為三角形內(nèi)角，可得B=$\frac{2π}{3}$…（6分）
（Ⅱ）如圖，∵點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，
∴2$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，
∴兩邊平方可得：4|$\overrightarrow{BD}$|²=|$\overrightarrow{BA}$|²+2|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|•cos∠ABC+|$\overrightarrow{BC}$|²，…（9分）
又∵由（Ⅰ）知B=$\frac{2π}{3}$，且AB=2，BC=1，
∴4|$\overrightarrow{BD}$|²=3，解得：BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了平面向量及其應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．