Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M為PA的中點．
（1）求證：PC∥平面BDM；
（2）若PA=AC=

2

，BD=2

3

，求直線BM與平面PAC所成的角的大�。�

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）設AC，BD交于點O，連結MO，由已知得MO∥PC，由此能證明PC∥平面BDM．
（2）由已知得BO⊥AC，BO⊥PA，從而BO⊥平面PAC，∠BMO是直線BM與平面PAC所成的角，由此能求出直線BM與平面PAC所成的角的大�。�

解答： （1）證明：設AC，BD交于點O，連結MO，
∵四邊形ABCD是菱形，∴O是AC的中點，
∵M為PA的中點，∴MO∥PC，
∵MO?平面BDM，PC不包含于平面BDM，
∴PC∥平面BDM．
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BO⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴BO⊥PA，
又PA∩AC=A，∴BO⊥平面PAC，
∴∠BMO是直線BM與平面PAC所成的角，
∵PA=AC=

2

，BD=2

3

，
∴MO=

1

2

PC=

1

2

2+2

=1，BO=

1

2

BD=

3

，
∴tan∠BMO=

BO

MO

=

3

1

=

3

，
∴∠BMO=60°，
∴直線BM與平面PAC所成的角的大小為60°．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線BM與平面PAC所成的角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．