Question

4．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為PC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，PA=AC=2，BC=1．
（1）求證：AD⊥平面PBC；
（2）求PE與平面ABD所成角的正弦值；
（3）設(shè)點(diǎn)F在線段PB上，且$\frac{PF}{PB}$=λ，EF∥平面ABC，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出PA⊥BC，AC⊥BC，從而BC⊥平面PAC，進(jìn)而BC⊥AD，再求出AD⊥PC，由此能證明AD⊥平面PBC．
（2）推導(dǎo)出PA⊥平面ABC，以C為原點(diǎn)，分別以CA、CB、AP的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出PE與平面ABD所成角的正弦值．
（3）求出$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{PF}-\overrightarrow{PE}$=（-2λ+$\frac{1}{2}$，λ，-2$λ+\frac{3}{2}$），由EF∥平面ABC，平面ABC的一個法向量$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），利用向量法能求出λ的值．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AC⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，∵AD?平面PAC，∴BC⊥AD，
∵在△PAC中，PA=AC，D為PC的中點(diǎn)，∴AD⊥PC，
∵BC∩PC=C，∴AD⊥平面PBC．
解：（2）依題意，PA⊥平面ABC，
如圖，以C為原點(diǎn)，分別以CA、CB、AP的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
依題意得A（2，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），D（1，0，1），E（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），P（2，0，2），
∴$\overrightarrow{AD}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AB}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{PE}$=（-$\frac{1}{2}，0，-\frac{3}{2}$），
設(shè)平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-2x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，1），
設(shè)PE與平面ABD所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PE}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\frac{1}{2}×1+0×1-\frac{3}{2}×1|}{\frac{\sqrt{10}}{2}×\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．
（3）∵$\overrightarrow{PB}$=（-2，1，-2），$\overrightarrow{PF}$=$λ\overrightarrow{PB}$，
∴$\overrightarrow{PF}$=（-2λ，λ，-2λ），∵$\overrightarrow{PE}=（-\frac{1}{2}，0，-\frac{3}{2}）$，∴$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{PF}-\overrightarrow{PE}$=（-2λ+$\frac{1}{2}$，λ，-2$λ+\frac{3}{2}$），
∵EF∥平面ABC，平面ABC的一個法向量$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{AP}$=-4λ+3=0，解得$λ=\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．