Question

有一塊半徑為R，圓心角為60°（∠AOB=60°）的扇形木板，已知扇形內有一內接矩形，求內接矩形面積最大值為多少？

Answer 1

考點：扇形面積公式

專題：計算題,應用題

分析：如圖先用所給的角將矩形的面積表示出來，建立三角函數(shù)模型，再根據(jù)所建立的模型利用三角函數(shù)的性質求最值．

解答： 解：內接矩形的放置有兩種情況，如圖（1）設∠FOA=θ，則FG=Rsinθ，
在△OEF中，EF=

2Rsin(60°-θ)

3

．
又設矩形EFGH的面積為S，那么S=FG•EF=

2R2sin(60°-θ)sinθ

3

=

R2

3

[cos（2θ-60°）-

1

2

]，
又∵0°＜θ＜60°，故當cos（2θ-60°）=1，即θ=30°時，S取最大值

R2

3

（1-

1

2

）=

3 R2

6

，
如圖（2），設∠FOA=θ，則EF=2Rsin（30°-θ），在△OFG中，∠OGF=150°，
故

FG

sinθ

=

R

sin150°

即FG=2Rsinθ
設矩形的面積為S．
那么S=EFFG=4R²sinθsin（30°-θ）
=2R²[cos（2θ-30°）-cos30°]
=2R2[cos（2θ-30°）-

3

2

]
又∵0＜θ＜30°，故當cos（2θ-30°）=1即θ=15°時，S取最大值R2（2-

3

），
顯然

3

6

R²＞（2-

3

）R²，
所以內接矩形的最大面積為

3

6

R²．

點評：本題關鍵是如何利用角θ表示矩形的長與寬，合理地把長與寬放在三角形中，利用正弦定理或三角定義來表示，本題屬于中檔題．