Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+{3}^{x}}{1-{3}^{x}}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由1-3^x≠0得x≠0，求得函數(shù)f（x）的定義域，由3^x=$\frac{f（x）-1}{f（x）+1}$＞0，求得f（x）的范圍，可得f（x）的值域．
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）由1-3^x≠0得x≠0，
故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）．
由f（x）=$\frac{1+{3}^{x}}{1-{3}^{x}}$，可得3^x=$\frac{f（x）-1}{f（x）+1}$＞0，
求得f（x）＞1，或f（x）＜-1，
f（x）的值域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）．
（Ⅱ）f（x）為奇函數(shù)，理由如下：
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
且$f（-x）=\frac{{1+{3^{-x}}}}{{1-{3^{-x}}}}=\frac{{{3^x}+1}}{{{3^x}-1}}=-f（x）$，
所以，f（x）為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的奇偶性的判斷方法，屬于中檔題．