Question

4．已知A（3，$\sqrt{3}$），O是坐標原點，點P（x，y）的坐標滿足$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}-y≤0}\\{x-\sqrt{3}+0≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，設Z為$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影，則Z的取值范圍是（　　）

• A． [-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]
• B． [-3，3]
• C． [-$\sqrt{3}$，3]
• D． [-3，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用向量投影的定義計算z的表達式，利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答 解：設z表示向量$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$方向上的投影，
∴z=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{3x+\sqrt{3}y}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{1}{2}$y，
即y=-$\sqrt{3}$x+2z，
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
平移直線y=-$\sqrt{3}$x+2z，當y=-$\sqrt{3}$x+2z經(jīng)過點B時直線y=-$\sqrt{3}$x+2z的截距最大，此時z最大，
當y=-$\sqrt{3}$x+2z經(jīng)過點C（-2，0）時，直線的截距最小，此時z最小．此時z_min=$\sqrt{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y=0}\\{x-\sqrt{3}y+2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，即B（1，$\sqrt{3}$），
此時最大值z=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
故z的取值范圍是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，
故選：B．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．