【題目】【2017北京豐臺5月綜合測試】已知函數(shù).

當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;

證明:對于,在區(qū)間上有極小值,且極小值大于0.

【答案】12見解析

【解析】

的定義域為,

因為,所以,所以.

因為,

所以曲線在點處的切線方程為.

因為,所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù).

因為,

所以,使得.

所以,,

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以有極小值.

因為,

所以.

設(shè),

所以,上單調(diào)遞減,所以

,所以函數(shù)的極小值大于0.

點睛:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的單調(diào)性與極值問題.函數(shù)y=fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線y=fx在點Px0,y0處的切線的斜率,過點P的切線方程為:.求函數(shù)y=fx在點Px0,y0處的切線方程與求函數(shù)y=fx過點Px0,y0的切線方程意義不同,前者切線有且只有一條,且方程為y-y0=f′x0)(x-x0,后者可能不只一條.

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