Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$-a（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)為m，n，求證：mn＞e²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）等價(jià)于函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，求出函數(shù)的值域，從而求出a的范圍即可；
（Ⅲ）不妨設(shè)m＞n，由題意得lnm=am，lnn=an，求出a，問題轉(zhuǎn)化為求h（x）=lnx+$\frac{2（x-1）}{x+1}$的單調(diào)性，根據(jù)h（x）＞0，（x＞1），得到lnm+lnn＞2，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．…（1分）
因?yàn)閒（x）=$\frac{lnx}{x}$-a，所以f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，…（2分）
所以，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減．…（3分）
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，則函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程g（x）=a有兩個(gè)根，
等價(jià)于函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a有兩個(gè)交點(diǎn)．…（5分）
因?yàn)間′（x）=f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，所以，由（Ⅰ）知g（x）在x=e時(shí)取得最大值，最大值為$\frac{1}{e}$，
當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→0，所以0＜a＜$\frac{1}{e}$．…（8分）
（Ⅲ）證明：不妨設(shè)m＞n，由題意得lnm=am，lnn=an，
兩式相減得lnm-lnn=a（m-n），所以a=$\frac{lnm-lnn}{m-n}$，…（10分）
所以（m-n）（a-$\frac{2}{m+n}$）=（m-n）（$\frac{lnm-lnn}{m-n}$-$\frac{2}{m+n}$）=ln$\frac{m}{n}$-$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$，…（12分）
令h（x）=lnx+$\frac{2（x-1）}{x+1}$，當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＞0，
所以a＞$\frac{2}{m+n}$，即$\frac{lnm+lnn}{m+n}$＞$\frac{2}{m+n}$，
整理為lnm+lnn＞2，故mn＞e²．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．