Question

6．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=AD=BC=CD=4，$BD=4\sqrt{2}$，E，F(xiàn)分別為AC，CD的中點，G為線段BD上一點．
（Ⅰ）求直線BE和AF所成角的余弦值；
（Ⅱ）當直線BE∥平面AGF時，求四棱錐A-BCFG的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CF的中點為H，連EH，BH，EH∥AF，可得∠BEH（或其補角） 即為BE與AF所成角，由已知求解直角三角形可得BH、EH、BE的值，利用余弦定理求得答案；
（Ⅱ）取BD的中點為O，連AO，CO，則$AO=CO=2\sqrt{2}$，利用線面垂直的判定得AO⊥平面BCD．可得$V_{A-BCD}^{\;}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×2\sqrt{2}=\frac{{16\sqrt{2}}}{3}$．連DE交AF于M，則M為△ACD的重心，得到${V_{A-FDG}}=\frac{1}{3}{V_{A-BCD}}$，進一步由${V_{A-BCFG}}=\frac{2}{3}{V_{A-BCD}}$得答案．

解答 解：（Ⅰ）取CF的中點為H，連EH，BH，EH∥AF，
∴∠BEH（或其補角） 即為BE與AF所成角．
由已知得AB⊥AD，BC⊥CD，CH=1，
∴$BH=\sqrt{17}$，$EH=\sqrt{3}，BE=2\sqrt{3}$，
∴$cos∠BEH=\frac{B{E}^{2}+E{H}^{2}-B{H}^{2}}{2BE•EH}=\frac{（2\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{17}）^{2}}{2×2\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$-\frac{1}{6}$．
∴直線BE和AF所成角的余弦值為$\frac{1}{6}$；
（Ⅱ）取BD的中點為O，連AO，CO，則$AO=CO=2\sqrt{2}$，
∴AO⊥OC，AO⊥BD，從而AO⊥平面BCD．
∴$V_{A-BCD}^{\;}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×2\sqrt{2}=\frac{{16\sqrt{2}}}{3}$．
連DE交AF于M，則M為△ACD的重心，且$\frac{DM}{ME}=\frac{2}{1}$，
∵BE∥平面AGF，∴BE∥GM，$\frac{DG}{GB}=\frac{2}{1}$．
∴${V_{A-FDG}}=\frac{1}{3}{V_{A-BCD}}$，${V_{A-BCFG}}=\frac{2}{3}{V_{A-BCD}}$=$\frac{{32\sqrt{2}}}{9}$．

點評 本題考查異面直線及其所成的角，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求三棱錐的體積，是中檔題．