Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知${a_1}=1，{a_{n+1}}=3{S_n}+1，n∈{N^*}$．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，求出數(shù)列a₂，a₃的值．
（2）利用通項公式與數(shù)列和的關(guān)系式，得到數(shù)列是等比數(shù)列，然后求解通項公式．

解答 解：（1）由題意，a₁=1，a_n+1=3S_n+1，所以 a₂=3a₁+1=4，a₃=3（a₁+a₂）+1=3（1+4）+1=16．
（2）由a_n+1=3S_n+1，則當a≥2時，a_n=3S_n-1+1，兩式相減，得a_n+1=4a_n（n≥2），
又因為${a_1}=1，{a_2}=4，\frac{a_1}{a_2}=4$，所以數(shù)列{a_n}是以首項為1，公比為4等比數(shù)列，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式是${a_n}={4^{n-1}}（{n∈{N^*}}）$．

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，等比數(shù)列的判斷，通項公式的求法，考查計算能力．