Question

15．某興趣小組測(cè)量渡江戰(zhàn)役紀(jì)念館前的勝利之塔的高度H（單位：m）如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC高度h=2m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．
（Ⅰ）該小組已經(jīng)測(cè)得一組α、β的值，tanα=1.21，tanβ=1.17，請(qǐng)據(jù)此算出H的值；
（Ⅱ）該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到勝利之塔的距離d（單位：m），使α與β之差較大，可以提高測(cè)量精確度．若勝利之塔的實(shí)際高度為60m，試問d為多少時(shí)，α-β最大？

Answer 1

分析 （I）根據(jù)三角函數(shù)的定義用H，h，tanα，tanβ表示出AD，BD，AB，根據(jù)AD-AB=DB列方程解出H．
（II）根據(jù)兩角差的正切公式得出tan（α-β）關(guān)于H，h，d的函數(shù)關(guān)系式，使用基本不等式求出tan（α-β）取得最大值的條件．

解答 解：（I）∵tanβ=$\frac{H}{AD}$=$\frac{h}{BD}$，tanα=$\frac{H}{AB}$，
∴AD=$\frac{H}{tanβ}$，BD=$\frac{h}{tanβ}$，AB=$\frac{H}{tanα}$．
∵AD-AB=DB，∴$\frac{H}{tanβ}-\frac{H}{tanα}=\frac{h}{tanβ}$，
解得：$H=\frac{htanα}{tanα-tanβ}=\frac{2×1.21}{1.21-1.17}=60.5（m）$．
∴勝利塔的高度H是60.5m．
（II）∵tanα=$\frac{H}g4a4mgm$，tanβ=$\frac{H}{AD}=\frac{h}{BD}=\frac{H-h}yi4c2ku$，
∴tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanα•tanβ}$=$\frac{\frac{H}4y2msyk-\frac{H-h}qog2qcs}{1+\frac{H}wcsqw4c•\frac{H-h}eiioi4o}$=$\frac{hd}{u22420i^{2}+H（H-h）}=\frac{h}{d+\frac{H（H-h）}qay440s}$．
∵d+$\frac{H（H-h）}syoeg4s$≥2$\sqrt{H（H-h）}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)d=$\sqrt{H（H-h）}$=$\sqrt{60×58}$=2$\sqrt{870}$時(shí)取等號(hào)）
∵0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，則0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，
∴故當(dāng)$d=2\sqrt{870}$時(shí)，tan（α-β）最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，三角函數(shù)的定義，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．